властивості інтеграла

властивості інтеграла

Основні властивості невизначеного інтеграла. Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній: ● Продиференціювавши рівність (1) дістанемо: Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок: (2). ● Рівність (2) випливає з (1), якщо взяти. Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла: (3). ● Справді, згідно з властивістю 1 диференціал лівої частини. (4).

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Якщо в інтеграла поміняти місцями нижню і верхню границі інтегрування, то значення інтеграла зміниться на протилежне. Щоб обчислити визначений інтеграл від функції зі сталим множником, можна сталий множник винести за знак інтеграла.  Визначений інтеграл від заданої функції з границями інтегрування, що є протилежними числами, дорівнює: - якщо функція непарна, то нулю

← Таблица интегралов | Основные свойства неопределённого интеграла | Методы интегрирования →. Прежде, чем рассматривать тему интегрирования далее, нужно условиться, что подразумевать под равенством двух интегралов. С формальной точки зрения при интегрировании всегда возникает произвольная постоянная, то есть равенство.

Властивості визначеного інтеграла. Нехай всі розглядувані функції інтегровані на відповідних відрізках. 1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: . Введене визначення визначеного інтеграла припускає, що нижня межа інтегрування менше верхньої: . Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли і . 2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

. 2. Властивості визначеного інтегралу. 1. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів: . 2. Постійний множник виноситься за знак інтеграла. . 3. . 4. Якщо функція інтегрується на і , то. . 5. «Теорема про середнє». Якщо функція безперервна на відрізку , то існує крапка така, що. . 6. Оцінка інтеграла. Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції на відрізку , , то.

Зауваження 19.2.Доведення властивостей невизначеного інтеграла вимагає однозначного розуміння рівності двох невизначених інтегралів. Нехай відомі вирази двох інтегралів: та . Тоді із рівності. випливає, що.  . Властивість 19.2.Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу: . (19.10). Доведення. Нагадаємо означення диференціала функції: . (19.11).

Основні властивості невизначеного інтеграла, Доведення основних властивостей невизначеного інтеграла.  1. (∫f(x)dx)'=f(x). 2.∫F'(x)dx=F(x)+C. 3.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, якщоk≠0. 4.∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx. Доведення властивостей: (Позначимо первісну функціїf(x) якF(x)- тобто F'(x)=f(x) або∫f(x)dx=F(x)+C. Так само G'(x)=g(x)). Доведення першої властивості: (∫f(x)dx)'=(F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Доведення другої властивості: ∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C. Доведення третьої властивості

Властивості невизначеного інтеграла. а) Властивості, що випливають із означення (8.1). І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції . ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу. ІІІ. . б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування. IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто. (8.2).

Властивості невизначеного інтеграла: 1. . 2. .  Метод безпосереднього інтегрування полягає у зображенні вихідного інтеграла у вигляді алгебраїчної суми табличних інтегралів. Зразки розв’язування задач. Обчислити інтеграли. 1. . Користуючись властивостями 4 та 5, будемо мати: 2. 3. 4. 5. . Тут, крім властивостей 4 та 5, застосуємо правила інтегрування. Дістанемо: 6. 7. .

ІІ. Властивості визначеного інтегралу. 1. Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної. , оскільки результат інтегрування - число, яке не залежить від того, якою буквою позначено аргумент підінтегральної функції. 2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа неперервних функцій, заданих на відрізку дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів: . 3. Сталий множник виноситься за знак визначеного інтегралу

Лекція № 9 1. Визначений інтеграл, означення, властивості. Геометричний та економічний зміст. 2. Формула Ньютона-Лейбніца. 3. Обчислення визначеного інтеграла: інтегрування частинами та методом заміни змінної. 4. Обчислення площі плоскої фігури. 5. Обчислення об’ємів тіл обертання. До поняття визначеного інтеграла приводять багато задач геометрії, фізики, природознавства, економіки, тощо. Задача про площу криволінійної трапеції.

3 Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення Означення. Функція F(x) називається первісною функції f(x) на деякому проміжку, якщо для кожного х з цього проміжку Наприклад функція cosx являється первісною для функції – sinx, тому що.  2 Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца. Властивості визначеного. - презентация.

Інтегра́л — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Виникає під час розв'язування задач про знаходження площі кривої, знаходження пройденого шляху при нерівномірному русі та інших подібних задачах. Ви́значений інтегра́л — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування.

1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.